MATEMATIKA, TURUNAN FUNGSI

11
TURUNAN FUNGSI
(y’ atau f’(x) atau
dx
dy
)
Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
1. ( )2 ( 2 2 ) a + b = a + 2ab + b
2. ( )2 ( 2 2 ) a - b = a - 2ab + b
3. n
m
n am = a
4. m
m a
a
= - 1
5. (am )n = am.n
6. am.an = am+n
7. am : an = am-n
8. ( )m m m a ×b = a ×b
9. m
m m
b
a
b
a = 




10. a0 =1,dengana ¹ 0
11. (a - b)(a + b) = a2 - b2
A. Turunan Fungsi Aljabar
Rumus turunan fungsi aljabar
1. f(x) = axn
f’(x) = a×nxn-1
2. f(x) = a × x
f’(x) = a
3. f(x) = a
f’(x) = 0
Rumus turunan fungsi aljabar bentuk sederhana
4. f(x) = u × v
f’(x) = u’ × v + u × v’
12
5. f(x) =
v
u
f’(x) = 2
' '
v
u ×v - u×v
Contoh :
1. Tentukan turunan dari f(x) = 2x3 + 3x –4 !
2. Tentukan turunan dari f(x) = 2
3
x !
3. Tentukan turunan dari f(x) = (x – 2)2 !
4. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = (2x – 1) (x + 2) !
5. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) =
x
x2 + 2x !
Penyelesaian :
1. Diketahui f(x) = 2x3 + 3x –4 !
Jawab :
f(x) = 2x3 + 3x – 4
f’(x) = 2 × 3x3-1 + 3 × 1x1-1 – 0
f’(x) = 6x2 + 3
2. Diketahui f(x) = 2
3
x !
Jawab :
f(x) = 2
3
x
f’(x) =



 -



 ×
1
2
3
1
2
3
x
f’(x) =



 -



 2
2
2
3
2
3
x
f’(x) =







 2
1
2
3
x
f’(x) = x
2
3
13
f’(x) =
2
3 x
3. Diketahui f(x) = (x – 2)2 !
Jawab :
f(x) = (x – 2)2 = x2 – 4x + 4
f(x) = x2 – 4x + 4
f’(x) = 2x2-1 – 4x1-1 + 0
f’(x) = 2x – 4
4. Diketahui f(x) = (2x – 1) (x + 2) !
Jawab :
f(x) = (2x – 1) (x + 2)
Misal : u = (2x – 1) ® u’ = 2
v = (x + 2) ® v’ = 1
Maka :
f’(x) = u’ × v + u × v’
f’(x) = 2 × (x + 2) + (2x – 1) × 1
f’(x) = (2x + 4) + (2x – 1)
f’(x) = (4x + 3)
5. Diketahui f(x) =
x
x2 + 2x !
Jawab :
f(x) =
x
x2 + 2x !
Misal : u = x2 + 2x ® u’ = 2x + 2
v = x ® v’ = 1
Maka :
f’(x) = 2
' '
v
u ×v - u×v
14
f’(x) =
( ) ( )
2
2 2 2 2 1
x
x + × x - x + x ×
f’(x) = ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
x
x + x - x + x
f’(x) = 2
2 0
x
x +
f’(x) = 1
B. Turunan Fungsi Trigonometri
Rumus fungsi trigonometri :
1. [ x] x
dx
d
cos = -sin
2. [ x] x
dx
d
sin = cos
3. [ x] x
dx
d 2 tan = sec
Rumus-rumus yang lain :
4. [ x] x
dx
d 2 ctg = -cosec
5. [ x] x x
dx
d
sec = -sec × tan
6. [ x] x x
dx
d
cosec = -cosec ×ctg
7. [ (ax b)] a (ax b)
dx
d sin + = cos +
8. [ (ax b)] a (ax b)
dx
d cos + = - sin +
9. [ (ax b)] a x(ax b)
dx
d tan + = - sec2 +
15
Contoh :
Tentukan turunan fungsi berikut :
1. f(x) = 2x + sin x
2. y = 3 + cos x
3. f(x) = 2 sin x + 4 cos x
4. f(x) = x × sin x
5. f(x) = sin x × cos x
Jawab :
1. Diketahui f(x) = 2x + sin x
Jawab :
f(x) = 2x + sin x
f’(x) = 2 + cos x
2. Diketahui y = 3 + cos x
Jawab :
y = 3 + cos x
y’ = 0 + (- sin x)
y’ = - sin x
3. Diketahui f(x) = 2 sin x + 4 cos x
Jawab :
f(x) = 2 sin x + 4 cos x
f’(x) = 2 (cos x) + 4 (- sin x)
f’(x) = 2 cos x - 4 sin x
4. Diketahui f(x) = x × sin x
Jawab :
f(x) = x × sin x
Misal : u = x ® u’ = 1
v = sin x ® v’ = cos x
16
dx
dz
dz
dt
dt
dv
dv
du
du
dy
dx
dy= × × × ×
Maka :
f’(x) = u’ × v + u × v’
f’(x) = 1 × sin x + x × cos x
f’(x) = sin x + x cos x
5. Diketahui f(x) = sin x × cos x
Jawab :
f(x) = sin x × cos x
Misal : u = sin x ® u’ = cos x
v = cos x ® v’ = - sin x
Maka :
f’(x) = u’ × v + u × v’
f’(x) = cos x × cos x + sin x × - sin x
f’(x) = cos2 x – sin2 x
C. Aturan dalil rantai untuk mencari turunan fungsi ( y’ = f’(x) =
dx
dy
)
Contoh :
1. Tentukan turunan pertama fungsi y = (2x2 + 3x)5
Jawab :
y = (2x2 + 3x)5
Misal : u = 2x2 + 3x ®
dx
du
= 4x +3
y = u5 ®
du
dy
= 5u4
17
Maka :
y’ =
dx
dy
y’ =
dx
du
du
dy ×
y’ = 5u4 × (4x +3)
y’ = 5(2x2 + 3x)4 × (4x + 3)
y’ = (2x2 + 3x)4 × (20x + 15)
y’ = (20x + 15) (2x2 + 3x)4
2. Tentukan turunan pertama fungsi y = (4x + 5)3 !
Jawab :
y = (4x + 5)3
y’ = 3 × (4x + 5)3-1 × 4
y’ = 12 (4x + 5)2
3. Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = (x2 + 3)3 !
Jawab :
f(x) = (x2 + 3)3 = ( )2
3
x2 + 3
f’(x) = (x 3) 2x
2
3 1
2
3
× 2 + × - = ( )2
1
3x x2 + 3
f’(x) = 3x (x 2 + 3)
18
D. Interval naik dan turun
Untuk menentukan interval fungsi f(x) naik atau turun adalah :
1. Jika f’(x) > 0 ® fungsi f naik
2. Jika f’(x) < 0 ® fungsi f turun
3. Jika f’(x) = 0 ® fungsi f tidak naik dan tidak turun (stationer)
Contoh :
Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer dari
( ) 2 3
3
1
f x = 2 + x - x .
Jawab :
( ) 2 3
3
1
f x = 2 + x - x ® f ' (x) = 2x - x2
f(x) naik jika f’(x) > 0
2x – x2 > 0
x (2 – x) > 0
Harga nol :
x = 0 atau 2 – x = 0
x = 2
Jadi, f(x) naik pada interval : 0 < x < 2
f(x) turun jika f’(x) < 0
2x – x2 < 0
x (2 – x) < 0
Harga nol :
x = 0 atau 2 – x = 0
x = 2
Jadi, f(x) naik pada interval : x < 0 atau x > 2
- - - - + + + - - - -
0 2
- - - - + + +
0 2
- - - -
19
f(x) stationer jika f’(x) = 0
2x – x2 = 0
x (2 – x) = 0
Harga nol :
x = 0 atau x = 2
Untuk x = 0 maka nilai 2 3
3
1
y = 2 + x - x ® 2 03
3
1
y = 2 + 0 -
y = 2
Untuk x = 2 maka nilai 2 3
3
1
y = 2 + x - x ® 2 23
3
1
y = 2 + 2 -
y =
3
10
Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2,
3
10
).
( ) 2 3
3
1
f x = 2 + x - x
20
E. Menggambar grafik fungsi aljabar
Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai
berikut:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya.
3. Tentukan beberapa titik pada kurva untuk memperhalus gambar.
4. Gambarlah kurva berdasarkan hasil pada point 1, 2 dan 3 diatas.
Contoh :
Gambar grafik ( ) 12 5
2
7
3
1 y = f x = x3 - x2 + x - !
Jawab :
Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0
12 5 0
2
7
3
1 x3 - x2 + x - =
dalam hal ini titik potong dengan sumbu X sukar ditentukan.
f ' (x) = 2x - x2
21
b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
0 12 0 5 5
2
7
0
3
1 y = 3 - 2 + × - = -
titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)
Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya.
Dari ( ) 12 5
2
7
3
1 y = f x = x3 - x2 + x - maka f ' (x) = x2 - 7x +12 .
Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga :
Û x2 - 7x +12 = 0
Û (x - 3)(x - 4) = 0
Û x1 = 3 atau x2 = 4
Nilai-nilai stationernya :
Untuk x1 = 3 maka ( )
2
1
3 12 3 5 8
2
7
3
3
1
f 3 = 3 - 2 + × - =
Untuk x2 = 4 maka ( )
3
1
4 12 4 5 8
2
7
4
3
1
f 3 = 3 - 2 + × - =
f(x) naik jika f’(x) > 0, maka :
x2 - 7x +12 > 0
(x - 3)(x - 4) > 0
x < 3 atau x > 4
f(x) turun jika f’(x) < 0, maka :
x2 - 7x +12 < 0
(x - 3)(x - 4) < 0
3 < x < 4
+++ - - -
3 4
+++
+++ - - - +++
3 4
22
Tanda-tanda f’(x) disekitar x = 3 dan x = 4
Berdasarkan bagan diatas maka :
f(3) =
2
1
8 merupakan nilai balik maksimum, sebab f’(x) berubah tanda dari
positif menjadi negatif.
f(3) =
3
1
8 merupakan nilai balik minimum, sebab f’(x) berubah tanda dari
negatif menjadi positif.
Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu untuk memperhalus kurva
x 1 2 3 4 5
f(x)
6
5
3
3
2
7
2
1
8
3
1
8
6
1
9
Langkah 4 : Beberapa titik yang diperoleh dari langkah-langkah diatas
digambar pada bidang cartesius, sehingga diperoleh grafik
yang diminta.
|
3
|
4
+ + + + - - - - - - + + + +
f’(x) > 0 f’(x) < 0 f’(x) > 0
23
|
1
|
2
|
3
|
4
|
0 5
(0, -5)
(1,
6
5
3 )
(2,
3
2
7 )
(3,
2
1
8 )
(4,
3
1
8 )
(5,
6
1
9 )
4 -
8 -
Titik balik
maksimum
Titik balik
minimum
24
F. Menentukan Nilai Stationer
Misalkan y = f(x) maka turunan keduanya adalah y” = f”(x).
Jika y” < 0, maka kurva f cekung (terbuka) ke bawah.
Jika y” > 0, maka kurva f cekung (terbuka) ke atas.
Contoh :
Tentukan interval dimana grafik y = f(x) = 2x4 – 3x2 – x +13
a. cekung ke atas
b. cekung ke bawah
Jawab :
y = f(x) = 2x4 – 3x2 – x +13
y‘ = 8x3 – 6x –1
y” = 24x2 – 6 = 6 (4x2 –1)
a. y cekung ke atas jika y” > 0,
6 (4x2 –1) > 0
6 (2x + 1) (2x –1) > 0
x <
2
1 - atau x >
2
1
Jadi kurva f cekung ke atas pada interval x <
2
1 - atau x >
2
1
.
b. y cekung ke bawah jika y” < 0,
6 (4x2 –1) < 0
6 (2x + 1) (2x –1) < 0
2
1 - < x <
2
1
Jadi kurva f cekung ke bawah pada interval
2
1 - < x <
2
1
.
Misalkan f’(a) = 0 :
Jika f”(a) < 0, maka f(a) merupakan nilai balik maksimum fungsi f.
Jika f”(a) > 0, maka f(a) merupakan nilai balik minimum fungsi f.
Jika f”(a) = 0, maka nilai stationer fungsi f tidak dapat ditentukan.
25
Contoh :
Tentukan nilai-nilai stationer fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Jawab :
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
f’(x) = 3x2 – 12x + 9
f”(x) = 6x – 12
Titik-titik stationer diperoleh jika f’(x) = 0, maka :
3x2 – 12x + 9 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3) =0
x = 1 atau x = 3
Untuk x = 1, maka f(1) = 13 – 6 . 12 + 9 . 1 + 1 = 5
Untuk x = 3, maka f(3) = 33 – 6 . 32 + 9 . 3 + 1 = 1
Jadi nilai-nilai stationer f(x) adalah 5 dan 1.
f”(1) = 6 . 1 – 12 = -6 < 0, maka f(1) = 5 merupakan nilai balik maksimum.
f”(3) = 6 . 3 – 12 = 6 > 0, maka f(3) = 1 merupakan nilai balik minimum.
f(x) = 2x4 - 3x2 - x +13
f' (x)= 8x3 - 6x -1
f"(x) = 24x2 - 6
26
f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 1
f'(x) = 3x2 - 12x + 9
f”(x) = 6x -12
27
G. Gradien dan Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) di x = a adalah :
m = f’(a)
=
dx
dy
Contoh :
1. Tentukan gradien dari kurva y = x2 – 4x + 1 dititik (3, -2) !
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 3x + 3 dititik (2, 1) !
Jawab :
1. y = x2 – 4x + 1
y’ = 2x – 4
titik (3, -2) ® (x, y)
maka gradiennya adalah
m = y’
m = 2x – 4
m = 2 . 3 – 4
m = 6 – 4 = 2
2. y = x2 – 3x + 3
y’ = 2x – 3
titik (2, 1) ® (x, y)
maka gradiennya adalah
m = y’
m = 2x – 3
m = 2 . 2 – 3 = 1
Persamaan garis singgung melalui (2, 1) dengan m = 1 adalah
(y - y1) = m (x – x1)
(y – 1) = 1 . (x – 2)
y – 1 = x – 2
y = x – 1
28
SOAL LATIHAN TURUNAN
1. y = x2 – 5x + 6
y’ = ?
2. f(x) = x3 - 3x2 +1
f’(2) = ?
3. f(x) = 2x x + x
f’(x) = ?
4. f(x) = x x + x3 x + x
f’(x) = ?
5. y = 4
3
x
y’ = ?
6. f(x) = x x
f’(x) = ?
7. f(x) =
1
2
x +
x
f’(x) = ?
8. f(x) = 33 x2 + 84 x5
f’(1) = ?
9. f(x) = (2x3 – 5) (x5 + 2)
f’(x) = ?
10. f(x) = 2
2 1 2
3
x x
x + x - +
f’(x) = ?
11. y =
x x
x x
3
2 3
2
2
+
- +
dx
dy = ?
29
12. y =
x2 + 1
x
y’ = ?
13. Suatu fungsi ditentukan dengan f(x) = ax2 + bx +c. Jika f(1) = 6,
f’(0) = 2 dan f’(1) = 4.
Tentukan a, b dan c ?
14. f(x) = x . cos x
f’(x) = ?
15. f(x) = 4 + 3 sin x
f’(x) = ?
16. f(x) = 4 . tan x
f’(x) = ?
17. f(x) = sin (2x2 – x)
f’(x) = ?
18. f(x) = cos x . (sin x +1)
f’(x) = ?
19. f(x) = x
x
x sin
2 + 2 +
f’(x) = ?
20. y = x3 . sin x
dx
dy = ?
21. f(x) =
x
x
cos
1+ sin
f’(x) = ?
22. Persamaan garis singgung y = 2x2 + 3x + 1 pada titik (1, 6)
adalah …
23. Persamaan garis singgung y = 5x2 + 2x -12 pada titik (12, 2)
adalah …
30
24. Gambar grafik fungsi ( ) 2 4
4
2
4
= - x +
x
f x adalah …
25. Gambar grafik fungsi f (x)= x3 - 3x2 + 2 adalah …