Matematika Dasar, TURUNAN FUNGSI

Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
TURUNAN FUNGSI
Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).
Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat
dinyatakan dengan :
m
y b
x a
f x f a
PQ = x a
-
-
=
-
-
( ) ( )
Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis
singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :
m
f x f a
x a x a
=
-
® -
lim
( ) ( )
Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis
singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:
f a
f x f a
x a x a
' ( ) lim
( ) ( )
=
-
® -
Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.
Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :
f a
f a h f a
h h
'( ) lim
( ) ( )
=
+ -
®0
Notasi lain : f a
df a
dx
dy a
dx
' ( ) y a
( ) ( )
= = = ' ( )
Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai
kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena
itu, didapatkan hubungan V(a) = f '(a) dan percepatan , A(x) , A a
dV a
dx
( )
( )
=
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak
berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh
Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab :
Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x
x
(0) lim ( ) 0
0
= =
®
Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :
f
f h f
h
h
h h h
' ( ) lim
( ) ( )
lim
| |
0
0 0
0 0
=
+ -
=
® ®
Karena - = ¹ =
® - ® +
1 1
0 0
lim
| |
lim
| |
h h
h
h
h
h
maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.
Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut :
1. d(x )
dx
r x r R
r
= r-1 ; Î
2. d( f x g x ) ( ) ( )
dx
d f x
dx
d g x
dx
( ) + ( ) ( ) ( )
= +
3.
d (f x g x ) ( ) ( )
dx
g x
d f x
dx
f x
d g x
dx
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
= +
4.
d( ) ( ) ( )
dx
g x d f x f x d g x
g x
f x
g x
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
-
2
Soal latihan
( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan
dy
dx
dari :
1. y
x
=
-12
2 6
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2. y
x x
= -
1 1
2
3. y = x ( x2 + 1 )
4. y = (x4 + 2x)(x3 + 2x2 + 1)
5. y = (3x2 + 2x)(x4 - 3x + 1)
6. y
x
=
+
1
3 2 9
7. y
x
x
=
-
-
2 1
1
8. y
x x
x
=
- +
+
2 3 1
2 1
2
9. y
x x
x x
=
- +
+ -
2
2
2 5
2 3
10. y
x x
x
=
+ +
-
5 2 6
3 1
2
( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang
diberikan.
11. f x
a x x
x bx x
( )
;
;
=
+ £ <
- ³
ìíîï
3 0 1
2 1 ; x = 1
12. f x
ax b x
x x
( )
;
;
=
- <
- ³
ìíî
2
2 2 1 2 ; x = 2
13. f x
x x
ax b x
( )
;
;
= - <
+ ³
ìí ï
îï
2 1 3
2 3
; x = 3